Probabilidade

Matéria: Lógica, Matemática e Estatística
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Espaço amostral e evento

Experimento aleatório possui resultado incerto. Espaço amostral Ω reúne resultados possíveis; evento é subconjunto. Em um dado, Ω={1,2,3,4,5,6}; “resultado par” é {2,4,6}. Com resultados equiprováveis, P(A)=casos favoráveis/casos possíveis.

Probabilidades ficam entre 0 e 1. O complemento satisfaz P(Aᶜ)=1−P(A). “Pelo menos um” frequentemente é mais simples pelo complemento “nenhum”. Em três lançamentos de moeda justa, P(ao menos uma cara)=1−P(nenhuma)=1−(1/2)³=7/8.

União e interseção

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Subtrai-se a interseção contada duas vezes. Eventos mutuamente exclusivos não ocorrem juntos, então a interseção é zero. Exclusão mútua não é independência: se A ocorreu, B se torna impossível.

A interseção usa regra do produto: P(A∩B)=P(A)P(B|A). Quando independentes, P(B|A)=P(B), logo multiplica-se diretamente.

Probabilidade condicional

P(A|B)=P(A∩B)/P(B), com P(B)>0. O universo passa a ser o grupo B. Se 60 de 100 empregados fizeram curso, 30 foram promovidos e 24 fizeram curso e foram promovidos, P(promoção|curso)=24/60=40%, enquanto P(curso|promoção)=24/30=80%. Inverter condicionamento muda denominador.

Eventos A e B são independentes se P(A|B)=P(A), equivalentemente P(A∩B)=P(A)P(B). Não conclua independência apenas porque os eventos parecem diferentes.

Sem e com reposição

Uma urna tem 3 peças defeituosas e 7 boas. Ao retirar duas sem reposição, P(duas boas)=7/10×6/9=7/15; a primeira retirada altera a composição. Com reposição, seria 7/10×7/10. Diagramas de árvore ajudam a manter probabilidades condicionais em cada ramo.

Teorema de Bayes

Bayes inverte condicionamento. Se máquinas A e B produzem 60% e 40%, com defeitos de 1% e 3%, então P(defeito)=0,6×0,01+0,4×0,03=0,018. Dada uma peça defeituosa, P(B|defeito)=0,4×0,03/0,018=2/3.

A taxa-base importa: mesmo um teste preciso pode produzir muitos falsos positivos quando o evento é raro. Organizar uma tabela de 10.000 casos costuma tornar Bayes intuitivo.

Variáveis aleatórias e esperança

Variável aleatória associa número ao resultado. A esperança discreta é E(X)=ΣxP(X=x): média de longo prazo, não previsão garantida. Num jogo que paga 10 com probabilidade 0,2 e custa 3, ganho líquido é 7 se vencer e −3 se perder: E=0,2×7+0,8×(−3)=−1.

A variância mede dispersão em torno da média: Var(X)=E[(X−μ)²]=E(X²)−μ². O desvio-padrão está na unidade original.

Binomial

Se há n tentativas independentes, duas saídas, mesma probabilidade p e contagem de sucessos, X~Bin(n,p): P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k), E(X)=np e Var(X)=np(1−p). Antes de aplicar, confira independência e p constante.

Visual de apoio — Árvore de probabilidades

Como ler: Cada ramificação representa um resultado possível; para obter a probabilidade de um caminho, combinam-se as probabilidades das etapas.

Fonte: Wikimedia Commons.

Editais e provas relacionados

O levantamento mestre aponta este eixo de estudo nos concursos abaixo. A prioridade e o cargo vêm do levantamento; os links levam aos materiais locais mais recentes disponíveis, com o ciclo identificado.

Organização	Prioridade	Cargo/ênfase de referência	Edital	Prova de referência	Gabarito
Petrobras Transporte S.A. (Transpetro)	P0	Processo Seletivo Público (PSP) Terra/Nível Superior 2026.4 — Administração	edital — 2026	prova — 2023	gabarito — 2023
NAV Brasil Serviços de Navegação Aérea S.A. (NAV Brasil)	P1	Concurso 01/2026 — Analista de Gestão	edital — 2026	prova — 2026	gabarito — 2026
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES)	P1	Seleção 2024 — Analista/Administração	edital — 2024	prova — 2024	gabarito — 2024
Comissão de Valores Mobiliários (CVM)	P1	Concurso 2024 — Analista/Gestão (perfil 5)	edital — 2024	prova — 2024	gabarito — 2024
BB Tecnologia e Serviços (BBTS)	P2	Concurso 2023 — Analista/Perfil Interno	edital — 2023	prova — 2023	gabarito — 2023

A tabela indica onde procurar a incidência do eixo, não que toda prova contenha questão de cada subtópico.