Aparência
Probabilidade
Matéria: Lógica, Matemática e Estatística
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Espaço amostral e evento
Experimento aleatório possui resultado incerto. Espaço amostral Ω reúne resultados possíveis; evento é subconjunto. Em um dado, Ω={1,2,3,4,5,6}; “resultado par” é {2,4,6}. Com resultados equiprováveis, P(A)=casos favoráveis/casos possíveis.
Probabilidades ficam entre 0 e 1. O complemento satisfaz P(Aᶜ)=1−P(A). “Pelo menos um” frequentemente é mais simples pelo complemento “nenhum”. Em três lançamentos de moeda justa, P(ao menos uma cara)=1−P(nenhuma)=1−(1/2)³=7/8.
União e interseção
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). Subtrai-se a interseção contada duas vezes. Eventos mutuamente exclusivos não ocorrem juntos, então P(A∩B)=0. Se ambos têm probabilidade positiva, não são independentes: o produto P(A)P(B) seria positivo e diferente da interseção. A ressalva importa porque eventos de probabilidade zero podem satisfazer simultaneamente as duas condições.
A interseção usa regra do produto: P(A∩B)=P(A)P(B|A). Quando independentes, P(B|A)=P(B), logo multiplica-se diretamente.
Probabilidade condicional
P(A|B)=P(A∩B)/P(B), com P(B)>0. O universo passa a ser o grupo B. Se 60 de 100 empregados fizeram curso, 30 foram promovidos e 24 fizeram curso e foram promovidos, P(promoção|curso)=24/60=40%, enquanto P(curso|promoção)=24/30=80%. Inverter condicionamento muda denominador.
Eventos A e B são independentes quando P(A∩B)=P(A)P(B). Se P(B)>0, isso equivale a P(A|B)=P(A). Não conclua independência apenas porque os eventos parecem diferentes.
Sem e com reposição
Uma urna tem 3 peças defeituosas e 7 boas. Ao retirar duas sem reposição, P(duas boas)=7/10×6/9=7/15; a primeira retirada altera a composição. Com reposição, seria 7/10×7/10. Diagramas de árvore ajudam a manter probabilidades condicionais em cada ramo.
Teorema de Bayes
Bayes inverte condicionamento. Se máquinas A e B produzem 60% e 40%, com defeitos de 1% e 3%, então P(defeito)=0,6×0,01+0,4×0,03=0,018. Dada uma peça defeituosa, P(B|defeito)=0,4×0,03/0,018=2/3.
A taxa-base importa: mesmo um teste preciso pode produzir muitos falsos positivos quando o evento é raro. Organizar uma tabela de 10.000 casos costuma tornar Bayes intuitivo.
Variáveis aleatórias e esperança
Variável aleatória associa número ao resultado. A esperança discreta é E(X)=ΣxP(X=x): média de longo prazo, não previsão garantida. Num jogo que paga 10 com probabilidade 0,2 e custa 3, ganho líquido é 7 se vencer e −3 se perder: E=0,2×7+0,8×(−3)=−1.
A variância mede dispersão em torno da média: Var(X)=E[(X−μ)²]=E(X²)−μ². O desvio-padrão está na unidade original.
Binomial
Se há n tentativas independentes, duas saídas, mesma probabilidade p e contagem de sucessos, X~Bin(n,p): P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k), E(X)=np e Var(X)=np(1−p). Antes de aplicar, confira independência e p constante.
Em um exemplo hipotético, três peças são inspecionadas independentemente, cada uma com probabilidade 0,2 de defeito. Se X conta peças defeituosas, P(X=1)=C(3,1)×0,2×0,8²=0,384, ou 38,4%. Há três posições possíveis para a única peça defeituosa; essa é a função do fator combinatório. A esperança é 3×0,2=0,6 peça e a variância é 3×0,2×0,8=0,48. A esperança pode ser fracionária, embora cada inspeção observe uma contagem inteira.
Visual de apoio — Árvore de probabilidades
Como ler: Cada ramificação representa um resultado possível; para obter a probabilidade de um caminho, combinam-se as probabilidades das etapas.
Fonte: Wikimedia Commons.