Aparência
Funções, progressões e análise combinatória
Matéria: Lógica, Matemática e Estatística
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Função como relação de dependência
Uma função associa a cada elemento x do domínio exatamente um valor f(x). Domínio são as entradas permitidas; contradomínio é o conjunto de destino declarado; imagem é o subconjunto dos valores efetivamente obtidos. Em f: ℝ → ℝ, f(x)=x², o contradomínio é ℝ, mas a imagem é [0,+∞): nenhum número negativo é produzido. Na função f(x)=2x+3, f(4)=11. Resolver f(x)=11 significa procurar a entrada: x=4.
Na função afim f(x)=ax+b, a é taxa de variação e b é valor inicial. Se custo C(q)=500+20q, há custo fixo 500 e custo variável unitário 20. A raiz resolve C(q)=0; nem sempre possui interpretação econômica válida.
Na função quadrática f(x)=ax²+bx+c, com a≠0, o gráfico é uma parábola. As raízes reais, quando Δ=b²−4ac≥0, vêm de x=(-b±√Δ)/(2a); se Δ<0, não há raiz real. O vértice ocorre em x=-b/(2a) e representa máximo quando a<0 ou mínimo quando a>0, desde que pertença ao domínio considerado. Exponenciais modelam crescimento proporcional: f(t)=P(1+i)^t, com base 1+i positiva e diferente de 1; logaritmos permitem recuperar o expoente.
Progressão aritmética
Em Progressão Aritmética (PA), a diferença r é constante: a_n=a_1+(n−1)r. Se uma produção inicia em 100 e cresce 15 por mês, no sexto mês será 100+5×15=175. A soma é S_n=n(a_1+a_n)/2.
O erro comum é multiplicar r por n em vez de n−1: do primeiro ao sexto termo existem cinco intervalos. PA modela acréscimo absoluto constante, não percentual.
Progressão geométrica
Em Progressão Geométrica (PG), cada termo é o anterior multiplicado pela razão constante q: a_n=a_1q^(n−1). Um valor que cresce 10% por período tem q=1,10. A soma finita, para q≠1, é S_n=a_1(q^n−1)/(q−1); para q=1, todos os termos são iguais e S_n=na_1. Se |q|<1, a soma infinita converge para a_1/(1−q).
PG descreve juros compostos, depreciação percentual e população sob taxa fixa. Distinguir PA e PG é distinguir “mais 10 unidades” de “mais 10%”.
Princípio multiplicativo
Se uma decisão tem m opções e, para cada uma, outra tem n, existem m×n combinações. Se etapas são alternativas mutuamente exclusivas, somam-se possibilidades. Um código com duas letras e três algarismos, admitindo repetição, tem 26²×10³ possibilidades.
Antes de usar fórmulas, pergunte: a ordem importa? Há repetição? Todos os elementos são usados?
Permutações, arranjos e combinações
Permutação de n elementos distintos: n!. Com repetição, divide-se pelos fatoriais das multiplicidades: em “ARARA”, 5!/(3!2!)=10.
Arranjo escolhe p entre n e ordena: A(n,p)=n!/(n−p)!. Combinação escolhe sem considerar ordem: C(n,p)=n!/[p!(n−p)!]. Escolher presidente e vice é arranjo; escolher dois representantes com mesma função é combinação.
Em problemas com restrições, conte diretamente ou use complemento. Para formar comissão de 3 entre 8 com pelo menos uma de duas especialistas, calcule todas C(8,3) menos comissões sem as especialistas C(6,3): 56−20=36.
Inclusão-exclusão
Ao somar grupos sobrepostos, a interseção é contada duas vezes: |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|. Se 40 estudam finanças, 30 logística e 12 ambas, 58 estudam ao menos uma. Essa ideia também sustenta probabilidades e evita contagens duplicadas.
Raciocínio quantitativo integrado
Questões quantitativas frequentemente combinam leitura de relações, proporcionalidade e contagem antes de exigir uma fórmula. Se a produtividade por equipe é constante, dobrar equipes e reduzir pela metade o tempo preserva a produção; se há custo fixo, porém, o custo total não varia na mesma proporção. O primeiro passo é definir grandezas, unidades e dependências.
Uma estratégia segura é representar o enunciado por tabela, expressão ou função, estimar a ordem de grandeza e só então calcular. O resultado deve voltar ao contexto: quantidade de pessoas é inteira, probabilidade fica entre 0 e 1 e prazo não pode ser negativo. Essa verificação detecta troca de unidade, percentual aplicado à base errada e uso de combinação quando a ordem importava.