Aparência
Matemática financeira
Matéria: Finanças, Orçamento e Contabilidade
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Valor do dinheiro no tempo
Um real disponível hoje pode ser investido e gerar retorno, razão pela qual tende a valer mais que um real recebido no futuro. A inflação também reduz poder de compra, e o risco cria possibilidade de o pagamento futuro não ocorrer como previsto. A preferência por liquidez expressa o valor de manter recursos disponíveis para necessidades e oportunidades.
Os juros remuneram essa transferência de recursos no tempo. Para quem empresta, compensam espera e risco; para quem toma, representam o custo de antecipar poder de compra. A taxa observada pode incorporar inflação esperada, risco de crédito, prazo e condições de mercado.
O capital, ou principal, é o valor inicial da operação. O juro é a remuneração calculada sobre a base definida. O montante é a soma do capital com os juros acumulados. A taxa só possui significado completo quando associada a um período e regime: 2% ao mês não pode ser comparado diretamente a 20% ao ano sem conversão consistente.
Juros simples e compostos
Nas fórmulas, C representa o capital inicial, J os juros, M o montante, i a taxa em forma decimal e n o número de períodos. No regime simples, os juros incidem sempre sobre o capital inicial: J = C × i × n e M = C × (1 + i × n). Com C = R$ 10.000, i = 0,02 ao mês e n = 5 meses, os juros são R$ 1.000 e o montante é R$ 11.000.
No composto, cada período incorpora juros à base: M=C(1+i)^n. Nos mesmos dados, M=10.000×1,02^5≈11.040,81. Operações financeiras usuais e inflação acumulada seguem composição.
Taxas e períodos devem ter mesma unidade. Em simples, taxa proporcional de 2% ao mês equivale a 24% ao ano. Em composto, taxa efetiva anual é (1,02)^12−1≈26,82%.
Taxas equivalentes, nominal e real
Taxas equivalentes produzem o mesmo fator no mesmo horizonte: (1+i_a)=(1+i_m)^12. Taxa nominal é cotada numa base com capitalização diferente, como 12% ao ano capitalizados mensalmente: taxa periódica 1% ao mês e efetiva anual 12,68%.
Ao comparar retorno e inflação, nominal tem outro sentido: é o retorno monetário ainda não descontado da inflação, mesmo que já seja uma taxa efetiva quanto à capitalização. Para o mesmo período, a taxa real é i_real = (1 + i_monetária)/(1 + inflação) − 1. Retorno de 10% com inflação de 6% gera 1,10/1,06 − 1 ≈ 3,77% de ganho real. Assim, converter taxa nominal em efetiva e retirar a inflação são operações distintas.
Valor presente e desconto
Valor presente de F futuro é PV=F/(1+i)^n. Receber 12.100 em dois anos a 10% vale 10.000 hoje. Somar fluxos de datas diferentes sem trazê-los à mesma data é incorreto.
No desconto racional composto, calcula-se valor presente pela taxa. Desconto comercial pode incidir sobre valor nominal; em operações curtas, as convenções alteram resultado. É preciso identificar base, prazo e regime.
Equivalência de capitais
Dois conjuntos são equivalentes numa data focal e taxa quando seus valores nessa data coincidem. Para substituir dívidas, transporte cada fluxo para a data escolhida: capitaliza os anteriores e desconta os posteriores.